(no subject)

Придумал задачу, где-то между теорвером и теорией чисел. Пока не придумал решения.

Выбираем число от 2 до N (по равномерному распределению) и берем его минимальный простой делитель. Найти для каждого N матожидание этой случайной величины. Или хотя бы асимптотику для больших N.

Ну, может умнее брать не равномерное, а какое-нибудь другое распределение. Скажем Пуассоново...

Upd: из общих соображений кажется, что хорошего выражения для данного N не будет: это давало бы слишком много информации про распределение простых. Так что интереснее смотреть асимптотику.

Еще upd: компьютерный счет до ста тысяч показывает, что растет чуть-чуть медленнее, чем линейно.

Еще еще upd: посчитал до миллиона. Не очень похоже на линейный рост.

Мда... Очень похоже на x/(2 ln x - 1) (что очень похоже на оценку Лежандра для \pi(x)). Но как это доказать я не знаю. То есть асимптотика видимо 1/2 \pi(x). Это как-то забавно выглядит.

и самый последний upd: я, кажется, доказал, что это (1/2) \pi(x). По крайней мере с устраивающим меня уровнем строгости.