Задачка

Смыло карту, лишь крестик с номером -
Адрес нашей звезды
О. Медведев
 

Предположим, что во Вселенной счётное количество разумных цивилизаций. Каждая живет около своей звезды. Они решили пронумеровать все звёзды -- чтобы во Вселенной легче было ориентироваться. Но тут же перессорились: все хотели, чтобы у "их" звезды был красивый номер -- вроде 1, 42 или 808017424794512875886459904961710757005754368000000000. Для того, чтобы разрешить эту проблему поступили следующим образом: каждая цивилизация разделила все номера на два счётных множества: "красивые" числа и "некрасивые" числа. Можно ли теперь присвоить номера звёздам так, чтобы каждая цивилизация либо считала, что у "её" звезды красивый номер либо считала, что у всех цивилизаций номера звёзд некрасивые?

Upd. pawa предложил контрпример, после чего я чуть-чуть изменил условие: до этого не требовалось, чтобы "красивых" номеров для каждой цивилизации было счетное количество.

Upd1.5 А вот модификация, которую я пока не умею сам решать. Допустим нам для каждой цивилизации дан список "плохих" на ее взгляд номеров (этот список может быть любым). Как по этому набору списков  определить, удастся наше мероприятие или нет?

Upd2. На самом деле этот пост затеян для того, чтобы те, кто еще не, погуглили бы The Monster Number, и в числе первых ссылок нашли бы список 10 самых клевых чисел, который мне нравится в первую очередь тем, что первое место в нем занял мой личный фаворит.

Upd3. Кстати (если вы еще не лазили в список, а даже если и лазили, не важно) какое число на ваш взгляд самое клёвое?